Mi dispiace molto: quante collane uguali può confezionare Alice con 120 perline gialle, 144 rosse e 196 verdi? Calcolo del MCD e distribuzione delle perline

Tipologia dell'esercizio: Tema

Aggiunto: oggi alle 10:42

Alice si è trovata davanti a un interessante problema matematico che combina ragionamento logico e competenze aritmetiche: possiede 120 perline gialle, 144 perline rosse e 196 perline verdi e vuole confezionare collane uguali con il massimo numero di perline, rispettando i diversi colori. Per risolvere il suo dilemma, deve determinare quanti gruppi uguali di perline può fare in modo tale che ogni collana contenga lo stesso numero di perline per colore. Essenzialmente, deve calcolare il massimo numero di collane uguali che può realizzare utilizzando tutte le perline.

Per risolvere questo problema, Alice deve trovare il Massimo Comune Divisore (MCD) dei numeri 120, 144 e 196. Il MCD rappresenta il più grande numero per il quale ciascuno di questi numeri può essere diviso esattamente e corrisponde al numero di collane uguali che può confezionare, garantendo che ciascuna collana contenga perline di tutti i colori nella stessa proporzione.

Iniziamo determinando i fattori primi di ciascun numero:

1. Per 120: - Dividiamo 120 per 2, ottenendo 60. - Dividiamo 60 per 2, ottenendo 30. - Dividiamo 30 per 2, ottenendo 15. - 15 non è divisibile per 2, per cui passiamo a 3. - Dividiamo 15 per 3, ottenendo 5. - 5 è un numero primo e non è ulteriormente divisibile se non per se stesso.

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 120 è: \( 2^3 \times 3 \times 5 \).

2. Per 144: - Dividiamo 144 per 2, ottenendo 72. - Dividiamo 72 per 2, ottenendo 36. - Dividiamo 36 per 2, ottenendo 18. - Dividiamo 18 per 2, ottenendo 9. - 9 non è divisibile per 2, quindi passiamo a 3. - Dividiamo 9 per 3, ottenendo 3. - 3 è un numero primo.

La scomposizione in fattori primi di 144 è: \( 2^4 \times 3^2 \).

3. Per 196: - Dividiamo 196 per 2, ottenendo 98. - Dividiamo 98 per 2, ottenendo 49. - 49 non è divisibile per 2, quindi passiamo a 7. - Dividiamo 49 per 7, ottenendo 7. - 7 è un numero primo.

La scomposizione in fattori primi di 196 è: \( 2^2 \times 7^2 \).

Avendo determinato i fattori primi, possiamo ora calcolare l'MCD tra i tre numeri identificando i fattori comuni con l'esponente minimo:

- Il fattore \( 2 \) è comune a tutti e tre i numeri, ed il suo esponente minimo è 2. - Non ci sono altri fattori comuni tra tutti e tre i numeri (3 e 5 non sono in 196, 7 non è in 120 e 144).

Quindi, l'MCD di 120, 144, e 196 è \( 2^2 = 4 \).

Questo significa che Alice può confezionare 4 collane, utilizzando tutte le perline disponibili. Per determinare quante perline di ciascun colore ci saranno in ogni collana, dividiamo semplicemente il numero di perline di ogni colore per l'MCD:

- Perline gialle per collana: \( \frac{120}{4} = 30 \) - Perline rosse per collana: \( \frac{144}{4} = 36 \) - Perline verdi per collana: \( \frac{196}{4} = 49 \)

In conclusione, ogni collana che Alice confeziona sarà composta da 30 perline gialle, 36 perline rosse e 49 perline verdi. Grazie all'accurata applicazione del concetto matematico del Massimo Comune Divisore, Alice è riuscita a ottimizzare l'uso delle sue perline, creando quante più collane uguali possibile. Questo problema non solo mette in evidenza le capacità di calcolo, ma anche di pensiero strategico nell'utilizzo delle risorse disponibili, e può essere visto come un piccolo esempio di come la matematica si applichi a situazioni concrete di vita quotidiana.