Calcolo dell'MCD tra coppie di numeri: 32 e 36, 40 e 35, 21 e 27, 60 e 80, 108 e 48, 180 e 195

Questo lavoro è stato verificato dal nostro insegnante: l'altro ieri alle 12:14

Tipologia dell'esercizio: Tema

Aggiunto: 20.02.2026 alle 9:01

Il tema presentato richiede di calcolare il massimo comune divisore (MCD) tra diverse coppie di numeri. Di seguito, analizzeremo ciascuna coppia e discuteremo il metodo utilizzato per arrivare alla soluzione.

Partiamo col chiarire cosa sia il massimo comune divisore: l'MCD tra due o più numeri è il più grande intero positivo che divide ciascuno di essi senza lasciare alcun resto. Un approccio comune per calcolare l'MCD è l'utilizzo del metodo basato sulla scomposizione in fattori primi, mentre un'altra strategia efficace è l'algoritmo di Euclide.

1. 32 e 36: Utilizzando la scomposizione in fattori primi, troviamo che: - 32 = 2^5 - 36 = 2^2 × 3^2

L'unico fattore primo comune è il 2, con il più basso esponente pari a 2. Quindi, l'MCD è 2^2 = 4.

2. 40 e 35: Per questi numeri, si ha: - 40 = 2^3 × 5 - 35 = 5 × 7

L'unico fattore comune è 5. Pertanto, l'MCD è 5.

3. 21 e 27: Analizzando i fattori: - 21 = 3 × 7 - 27 = 3^3

Qui, il fattore comune è 3, e quindi l'MCD è 3.

4. 60 e 80: Scomponendo i numeri, otteniamo: - 60 = 2^2 × 3 × 5 - 80 = 2^4 × 5

I fattori comuni sono 2 e 5, con i minimi esponenti di 2^2 e 5^1. Dunque, l'MCD è 2^2 × 5 = 20.

5. 108 e 48: Procediamo con la scomposizione: - 108 = 2^2 × 3^3 - 48 = 2^4 × 3

I fattori comuni sono 2 e 3, con esponenti minimi pari a 2 e 1. Quindi, l'MCD è 2^2 × 3 = 12.

6. 48: Dato che un solo numero è coinvolto, si tratta di determinare il suo massimo divisore che, per definizione, è il numero stesso. Pertanto, l'MCD è 48.

7. 180 e 195: Analizziamo i fattori: - 180 = 2^2 × 3^2 × 5 - 195 = 3 × 5 × 13

I fattori comuni sono 3 e 5, quindi, l'MCD è 3 × 5 = 15.

L'utilizzo dell'algoritmo di Euclide è un altro metodo molto efficace, basato sulla proprietà che l'MCD di due numeri a e b è lo stesso dell'MCD di b e del resto della divisione di a per b (a % b). Questo processo si continua fino a quando il resto diventa zero, e l'ultimo divisore non nullo sarà l'MCD.

Prendiamo un esempio pratico utilizzando l'algoritmo di Euclide: calcolo dell'MCD di 108 e 48.

- Dividiamo 108 per 48, ottenendo un quoziente di 2 e un resto di 12 (108 = 48 × 2 + 12). - Ora, calcoliamo l'MCD di 48 e 12. - Dividendo 48 per 12, otteniamo un quoziente di 4 e un resto di (48 = 12 × 4 + ).

Quando si ottiene un resto di , il divisore non nullo, ossia 12, è il massimo comune divisore.

In sintesi, il calcolo dell'MCD può essere affrontato attraverso diversi metodi, come la scomposizione in fattori primi o l'algoritmo di Euclide. In entrambi i casi, ottenere l'MCD richiede la determinazione dei fattori comuni e la selezione del più alto divisore possibile che sia comune a tutti i numeri considerati. Questo processo è fondamentale per risolvere problemi vari in matematica, dall'aritmetica di base fino a calcoli più avanzati in algebra e teoria dei numeri.