Flavia dispone di 144 perline bianche, 162 rosse e 108 azzurre: quanti sacchetti può preparare con il massimo numero possibile di perline di ciascun colore?

Tipologia dell'esercizio: Tema

Aggiunto: ieri alle 14:30

Per risolvere il problema della distribuzione delle perline e capire quanti sacchetti Flavia può preparare con il massimo numero possibile di perline di ciascun colore, è necessario utilizzare il concetto di massimo comun divisore (MCD). Questo ci consente di determinare quanti sacchetti, con lo stesso numero di perline di ciascun colore, Flavia può preparare senza lasciare perline residui.

Partiamo dalla definizione dei numeri di perline disponibili per ciascun colore: Flavia ha 144 perline bianche, 162 perline rosse e 108 perline azzurre. L'obiettivo è di trovare la massima quantità di sacchetti identici che possano essere confezionati utilizzando tutte le perline, ovvero con zero perline restanti di ciascun colore in ciascun sacchetto.

Per questo, dobbiamo calcolare l’MCD di questi tre numeri: 144, 162 e 108. L'MCD è il più grande numero intero che può dividere senza lasciare resto tutti e tre i numeri. Calcoliamo quindi l'MCD procedendo con il metodo della scomposizione in fattori primi.

Cominciamo con il numero 144: 1. 144 è divisibile per 2: 144 ÷ 2 = 72 2. 72 è divisibile per 2: 72 ÷ 2 = 36 3. 36 è divisibile per 2: 36 ÷ 2 = 18 4. 18 è divisibile per 2: 18 ÷ 2 = 9 5. 9 è divisibile per 3: 9 ÷ 3 = 3 6. 3 è divisibile per 3: 3 ÷ 3 = 1

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 144 è 2^4 * 3^2.

Ora il numero 162: 1. 162 è divisibile per 2: 162 ÷ 2 = 81 2. 81 è divisibile per 3: 81 ÷ 3 = 27 3. 27 è divisibile per 3: 27 ÷ 3 = 9 4. 9 è divisibile per 3: 9 ÷ 3 = 3 5. 3 è divisibile per 3: 3 ÷ 3 = 1

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 162 è 2^1 * 3^4.

Infine, procediamo con 108: 1. 108 è divisibile per 2: 108 ÷ 2 = 54 2. 54 è divisibile per 2: 54 ÷ 2 = 27 3. 27 è divisibile per 3: 27 ÷ 3 = 9 4. 9 è divisibile per 3: 9 ÷ 3 = 3 5. 3 è divisibile per 3: 3 ÷ 3 = 1

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 108 è 2^2 * 3^3.

Per trovare l'MCD, prendiamo il minimo esponente comune di ciascun fattore primo: - Per il numero 2, il minimo esponente è 1 (presente in 2^1 nella scomposizione di 162). - Per il numero 3, il minimo esponente è 2 (presente in 3^2 nella scomposizione di 144).

Quindi, l'MCD è 2^1 * 3^2 = 2 * 9 = 18.

Questo significa che Flavia può dividere le perline in 18 sacchetti. Ora, calcoliamo quanti pezzi di ciascun colore ci saranno in ogni sacchetto: - Perline bianche per sacchetto: 144 ÷ 18 = 8 - Perline rosse per sacchetto: 162 ÷ 18 = 9 - Perline azzurre per sacchetto: 108 ÷ 18 = 6

Di conseguenza, in ogni sacchetto ci saranno 8 perline bianche, 9 perline rosse e 6 perline azzurre. Flavia riesce dunque a preparare esattamente 18 sacchetti usando tutte le perline a disposizione, senza avanzarne nessuna. Questo esempio di organizzazione razionale delle risorse è un'applicazione pratica dell'MCD nella distribuzione uniforme.