Trovare le lunghezze di due segmenti dalla loro somma e differenza

Questo lavoro è stato verificato dal nostro insegnante: 17.01.2026 alle 12:32

Tipologia dell'esercizio: Esercizio per casa

Aggiunto: 17.01.2026 alle 12:15

Riepilogo:

Scopri come trovare le lunghezze di due segmenti dalla loro somma e differenza: metodo passo passo, formule, esempi ed esercizi guidati per studenti e verifiche

Introduzione

Determinare la lunghezza di due segmenti quando si conoscono la loro somma e la loro differenza è un classico problema che accompagna gli studenti italiani fin dai primi anni della scuola secondaria di primo grado. È un esercizio che non si limita solo all’aritmetica, ma si estende alla geometria, all’algebra e spesso trova spazio nel curriculum di matematica delle scuole medie e dei primi anni dei licei, in particolare nel biennio. Sapere come affrontare questi problemi offre un enorme vantaggio nei compiti, nelle verifiche e soprattutto nei compiti d’esame, come le prove INVALSI o le tracce dell’esame di terza media, dove domande simili ricorrono frequentemente. In questo elaborato affronterò metodi chiari e accessibili per risolvere queste tipologie di problemi, approfondendo sia le strategie algebriche che quelle più visuali, e fornendo numerosi strumenti pratici per evitare errori e sviluppare padronanza operativa.

Concetti di base e notazione

Per cominciare, richiamiamo brevemente cosa si intende per segmento: matematicamente, un segmento è una porzione limitata di retta, definita dai suoi due estremi. Parlare di misura di un segmento significa indicarne la lunghezza secondo una data unità di misura (cm, m, ecc.). Per chiarezza espositiva, chiamiamo i due segmenti A e B, ponendo (quando serve) B ≥ A, cioè identificando quale sia il più lungo. Questa convenzione elimina ambiguità quando si parla di differenza poiché la lunghezza non può risultare negativa.

Un altro passaggio fondamentale è quello di tradurre i testi dei problemi in equazioni. Ad esempio, se si dice “la somma di due segmenti è 16 cm e la loro differenza è 4 cm”, tradurremo queste informazioni così: A + B = 16 B − A = 4

Metodo fondamentale: risoluzione del sistema lineare

Quando la somma S e la differenza D di due segmenti sono entrambe note, la strada più sicura è risolvere un sistema di primo grado nelle incognite A e B:

\[ \begin{cases} A + B = S \\ B - A = D \end{cases} \]

La risoluzione avviene con questi passaggi:

- Sommando le due equazioni: (A + B) + (B − A) = S + D ⇒ 2B = S + D ⇒ B = (S + D) / 2 - Sottraendo la seconda dalla prima: (A + B) − (B − A) = S − D ⇒ 2A = S − D ⇒ A = (S − D) / 2

Ad esempio, se S = 16 e D = 4: B = (16 + 4) / 2 = 10 A = (16 − 4) / 2 = 6

Interpretazione geometrica: immaginando i segmenti disegnati su una retta, la somma rappresenta l’unione delle lunghezze, mentre la differenza il tratto che “avanza” sottraendo il minore al maggiore.

Condizioni di consistenza

È fondamentale che S ≥ D e che entrambe siano della stessa unità di misura. Un errore comune è dimenticare di controllare che S − D non sia negativo: in tal caso il problema sarebbe privo di soluzione reale.

Metodo alternativo: media e scarto

Un altro modo mentale e molto rapido, sfruttato spesso durante le verifiche, si basa sui concetti di media aritmetica e semidifferenza. Se la somma S è nota, la media dei due segmenti è S/2; la semidifferenza è D/2.

- Media (m): S/2 - Scostamento (s): D/2 - Le lunghezze sono: - A = m − s - B = m + s

Così facendo si ottiene subito:

- A = (S − D)/2 - B = (S + D)/2

Questo metodo aiuta anche a visualizzare il problema: A è il valore “più vicino al centro”, B quello che si discosta di più dalla media.

Caso con somma nota e rapporto tra segmenti

Ci sono situazioni in cui non si conosce la differenza ma solo la somma, insieme a un rapporto tra le lunghezze (ad esempio, “A sta a B come 2 sta a 3”). Questo si traduce nelle equazioni:

- A + B = S - A : B = m : n, cioè A = (m / (m + n)) · S, B = (n / (m + n)) · S

Esempio: S = 30 cm, rapporto 2:3 Somma delle parti = 2 + 3 = 5 Ogni “parte” = 30 / 5 = 6 cm A = 2 × 6 = 12 cm B = 3 × 6 = 18 cm

La chiave sta nel suddividere la somma nel numero di parti in rapporto.

Caso con differenza nota e rapporto

Se si conosce la differenza D e il rapporto B : A = t : 1, allora si ha:

- B − A = D - B = t·A

Sostituendo si ricava A = D / (t − 1), e quindi B = t·A.

Esempio: D = 8 cm, t = 3, quindi A = 8 / (3−1) = 4 cm B = 3 × 4 = 12 cm

Attenzione ai casi in cui t ≤ 1: in tal caso non avrebbe senso, i dati sarebbero incompatibili.

Altre combinazioni e risoluzione sistematica

Quando sono presenti espressioni del tipo A = parte di B, o B = 2A + c, il consiglio operativamente è sempre quello di tradurle in equazioni e risolverle, eventualmente per sostituzione. Ecco una strategia:

- Definire le incognite - Scrivere le equazioni - Sostituire una incognita nell’altra - Risolvere e verificare inserendo i risultati nelle equazioni iniziali

Esempio: B = 2A + 5, A + B = 35 Sostituisco B: A + (2A + 5) = 35 ⇒ 3A + 5 = 35 ⇒ 3A = 30 ⇒ A = 10 ⇒ B = 25

Visualizzazioni geometriche e materiali pratici

Per fissare le idee, rappresentare i segmenti su una retta aiuta moltissimo. Disegnarne la somma e la differenza con colori diversi evita errori e rende la soluzione intuitiva. Anche lavorare con strisce di carta, oppure segmenti tracciati col righello, avvicina il problema alla realtà e rende più semplice la verifica dei risultati.

Gli insegnanti spesso utilizzano questi espedienti visivi nelle scuole primarie e nelle prime classi delle medie per far comprendere il concetto di suddivisione e differenza tra segmenti, costruendo vere e proprie “piste” di verifica.

Strategie di verifica e controllo degli errori

Una regola d’oro: al termine del calcolo, sostituire i valori delle incognite nelle equazioni iniziali. Se non torna, c’è un errore! Bisogna anche controllare che:

- Le unità di misura siano sempre coerenti - A risulti positivo e minore (o uguale) di B - La differenza abbia realmente segno positivo - In caso di rapporti o divisioni, semplificare le frazioni

Per problemi veloci, si consiglia di controllare anche la plausibilità delle proporzioni: ad esempio, se S = 10 e il rapporto è 9:1, si attende una parte molto piccola e una molto grande.

Errori comuni e come evitarli

Tra gli errori più diffusi:

- Scambiare A con B: stabilire sempre quale sia il segmento maggiore - Dimenticare la conversione delle unità di misura - Non semplificare i rapporti, portando così a calcoli inutilmente complicati - Considerare differenze di segno sbagliato: B ≥ A!

Per evitarli: annotare con chiarezza i valori di S e D, rappresentare i segmenti graficamente, procedere con calma al calcolo e, soprattutto, ricontrollare i passaggi.

Esercizi proposti

E1 (base): S = 18 cm, D = 6 cm. A = (18−6)/2 = 6 cm; B = (18+6)/2 = 12 cm.

E2 (base): S = 45 cm, rapporto 2:3. Totale parti = 5; una parte = 9 cm A = 2×9 = 18 cm, B = 3×9 = 27 cm.

E3 (intermedio): D = 8 cm, rapporto 3:1 B − A = 8, B = 3A 3A − A = 8 ⇒ 2A = 8 ⇒ A = 4, B = 12

E4 (intermedio): B = 2A + 5; A + B = 41 A + 2A + 5 = 41 ⇒ 3A = 36 ⇒ A = 12, B = 29

E5 (avanzato): S = 10, D = 12 Impossibile: S < D

E6 (geometrico): Un segmento di 30 cm da suddividere in due parti con differenza di 16 cm A = (30−16)/2 = 7 cm; B = (30+16)/2 = 23 cm

Applicazioni pratiche e problemi contestualizzati

Questi strumenti non restano astratti: si usano quando bisogna tagliare materiali (legno, nastri, tubi) secondo proporzioni stabilite, oppure per suddividere percorsi in modo imparziale. Spesso nei problemi di geometria planimetrica occorre individuare la lunghezza dei lati incogniti di un poligono sapendo solo combinazioni della loro somma e differenza.

Se i valori non sono interi, è utile lavorare con frazioni o decimali, applicando con attenzione le formule senza cambiare unità di misura.

Estensioni e generalizzazioni

Quando i segmenti sono più di due si applicano principi analoghi ma con più variabili: si impostano sistemi con tante equazioni quante sono le incognite oppure si ragiona sulle parti in rapporto (come nella classica “spartizione in parti proporzionali”).

Questi strumenti allenano a impostare sistemi algebraici e preparano agli studi successivi, in cui si considerano sistemi lineari anche in ambito matriciale (un argomento chiave nel triennio dei licei scientifici).

Suggerimenti per lo studio e per l’esame

- Esercitarsi con problemi diversi, variando dati noti e strategie - Memorizzare formule centrali - Allenarsi a impostare le equazioni direttamente dal testo - Fare sempre un disegno rapido quando possibile - In verifica, prima di calcolare, scrivere tutte le informazioni essenziali sul foglio

Conclusione

In sintesi, determinare le lunghezze di due segmenti conoscendo la loro somma e la loro differenza è una competenza fondamentale nell’ambiente scolastico italiano. I metodi illustrati sono strumenti potenti non solo per superare le verifiche, ma anche per allenare il ragionamento logico e la capacità di rappresentare problemi reali col linguaggio matematico. L’unico modo per diventare esperti è esercitarsi: si tratta di una tecnica che si affina risolvendo molte situazioni, riflettendo sugli errori e correggendoli. Proprio questa attenzione all’autocorrezione è ciò che distingue lo studente consapevole dal semplice esecutore.

Appendice

Tabella riassuntiva

| Dati noti | Formula per A | Formula per B | |----------------|----------------------|-----------------------| | S e D | (S − D)/2 | (S + D)/2 | | S e rapporto | (m/(m + n))·S | (n/(m + n))·S | | D e rapporto | D/(t − 1) | t·D/(t − 1) | | Espressione | Risolvere sistema | Con sostituzione |

Checklist

1. Annotare bene i dati. 2. Stabilire chi è A e chi è B. 3. Tradurre il testo con le equazioni corrette. 4. Applicare la formula e calcolare. 5. Controllare la coerenza. 6. Ricontrollare con la sostituzione nelle equazioni di partenza.

Risorse consigliate

- Manuali di matematica della scuola secondaria, come i testi “Matematica a colori” di Bergamini, Trifone, Barozzi o le antologie di esercizi Zanichelli. - Portale “Zanichelli online” per esercitazioni interattive. - Il sito “Matematicamente.it” offre una vasta banca di problemi con soluzioni guidate.

Con dedizione e metodo, questi problemi diventeranno un terreno di gioco e non più di ansia!

Domande di esempio

Le risposte sono state preparate dal nostro insegnante

Come trovare le lunghezze di due segmenti dalla loro somma e differenza?

Si risolvono due equazioni: A = (S−D)/2, B = (S+D)/2. Queste formule permettono di calcolare rapidamente A e B partendo dalla somma (S) e dalla differenza (D) delle lunghezze.

Quali errori evitare quando si trovano due segmenti dalla loro somma e differenza?

Bisogna controllare che S ≥ D, usare le unità di misura corrette e stabilire quale segmento sia maggiore. Errori comuni includono scambiare A e B o dimenticare la coerenza dei dati.

Come risolvere un problema con somma nota e rapporto tra segmenti?

Si suddivide la somma totale secondo il rapporto dato: A = (m/(m + n))·S e B = (n/(m + n))·S. Questo metodo garantisce il rispetto delle proporzioni richieste.

Cosa fare se la somma è minore della differenza tra segmenti?

Il problema non ammette soluzione reale in quanto la differenza non può superare la somma. Serve verificare sempre la compatibilità dei dati forniti.

Perché rappresentare graficamente i segmenti aiuta nella soluzione del problema?

La rappresentazione su una retta facilita la comprensione di somma e differenza, aiuta a evitare errori e rende il ragionamento più intuitivo, specialmente nelle verifiche e nei compiti.

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Tagi:#matematica #segmenti #esercizi