Maturità 2009: soluzioni e analisi della seconda prova di matematica
Questo lavoro è stato verificato dal nostro insegnante: 24.01.2026 alle 7:10
Tipologia dell'esercizio: Analisi
Aggiunto: 17.01.2026 alle 19:37
Riepilogo:
Scopri le soluzioni e l'analisi della seconda prova di matematica della Maturità 2009, strategie, errori tipici e schemi pratici per superarla con esempi.
Maturità 2009: prove svolte di matematica
_Un’analisi approfondita e pratica per studiare, affrontare e superare con successo la seconda prova al Liceo Scientifico_Introduzione
La seconda prova di matematica alla Maturità per il Liceo Scientifico rappresenta da sempre uno degli snodi più impegnativi del percorso di studi, uno spartiacque tra il metodo acquisito in cinque anni e il suo reale padroneggiamento; si tratta non solo di un esame, ma di una verifica autentica della maturità matematica raggiunta. Nel 2009 ciò era particolarmente evidente, con una prova articolata che richiedeva capacità di ragionamento e flessibilità, ben oltre la mera applicazione mnemonica delle regole.Scopo di questa analisi non è proporre una sterile ripetizione dei testi ministeriali, ma estrarre da quelle tracce esempi, strategie risolutive ed errori tipici, fornendo così una guida efficace a studenti che affrontano la seconda prova, nonché ai docenti che li accompagnano. Un’attenzione particolare sarà dedicata alle due varianti della prova: il percorso tradizionale, più classico e teorico; e quello PNI (Piano Nazionale Informatica), contraddistinto da un’impronta applicativa e interdisciplinare.
Struttura generale della prova di matematica
Le tracce della maturità scientifica sono costruite seguendo uno schema ormai consolidato: due problemi articolati tra cui scegliere e una serie di quesiti brevi a risposta motivata. La suddivisione del punteggio invita a una gestione oculata del tempo e delle energie: in genere, il problema scelto vale la metà del punteggio totale, mentre la restante metà è distribuita tra i quesiti.Il criterio di valutazione dei commissari si fonda su alcuni pilastri: la chiarezza nell’esposizione, coerenza dei passaggi logici, rigore nelle giustificazioni, corretta applicazione delle proprietà matematiche, pulizia e leggibilità del testo svolto. Non è affatto raro che soluzioni formalmente corrette siano penalizzate da imprecisioni o da esposizioni disordinate: come nei Promessi Sposi l’intreccio narrativo emerge tanto dai dialoghi quanto dall'intreccio degli avvenimenti, così nella matematica della maturità il “come” si arriva al risultato conta almeno quanto il risultato stesso.
Analisi dettagliata della prova per lo Scientifico (tradizionale)
Tipologie ricorrenti e strategie
Nel percorso tradizionale, i problemi vertono spesso su argomenti classici del curriculum liceale:- Studio di funzione: Analisi completa di una funzione reale, comprendente dominio, limiti agli estremi, calcolo di derivate, ricerca dei punti di massimo e minimo, asintoti, grafico rappresentativo. Non si tratta solo di calcoli: è la comprensione qualitativa che determina la bontà della soluzione. Come avviene nelle opere pirandelliane, dove il particolare illumina il generale, anche nello studio di funzione dettagli e casi particolari vanno spiegati e motivati.
- Problemi di geometria analitica: Qui compaiono rette, parabole, circonferenze, ellissi, e le loro intersezioni. Spesso viene proposto un problema applicativo che richiede il passaggio da una descrizione geometrica a un sistema di equazioni.
- Equazioni e sistemi con parametri: Questi esercizi testano la capacità di trattare variabili in modo astratto ma determinato, di distinguere casi limiti e scenari differenti. L’abilità di scomporre il problema in situazioni più semplici è fondamentale.
- Problemi di probabilità e combinatoria di base: Calcolo di probabilità relative a eventi semplici, uso del principio di moltiplicazione, calcolo di combinazioni e permutazioni. Anche qui l’errore è dietro l’angolo, soprattutto nella distinzione tra eventi indipendenti e dipendenti, come ricordava Poincaré nei suoi scritti divulgativi.
Metodo passo-passo per affrontare i problemi
1. Lettura attenta: Prima di tutto, sottolineare i dati, identificare l’obiettivo e spezzare mentalmente il problema in sottopunti. Un errore classico è leggere con superficialità, trascurando condizioni e Vincoli.2. Analisi preliminare: Inquadrare il tipo di problema – ad esempio, individuare dominio e condizioni di esistenza già nell’impostazione dello studio di funzione. Per le funzioni razionali fratte, la ricerca dei valori di x nei quali il denominatore si annulla è un primo passo essenziale.
3. Strutturazione della soluzione: Procedere in ordine nei vari sottopunti, lasciando spazio per tornare su un punto troppo impegnativo. Annotare risultati intermedi e ipotesi. Se richiesto un disegno, anche uno schizzo chiaro può essere determinante per visualizzare il possibile andamento.
4. Motivazione dei passaggi: Per ogni affermazione, indicare la regola o il teorema (ad esempio, il teorema di Fermat sui punti stazionari, o il teorema della derivata). Chiarezza e pulizia nella spiegazione rendono la soluzione leggibile anche a una prima lettura.
5. Verifica finale: Controllo della coerenza dimensionale, dei segni e dei casi particolari. Sostituire il risultato trovato nell’equazione di partenza permette spesso di smascherare errori nascosti.
Consigli pratici: Per i punti che chiedono una “dimostrazione”, iniziare sempre con le ipotesi in modo formale (“Sia x un punto del dominio…”), concludere la sezione con un richiamo deciso alla tesi (“Dunque si verifica quanto richiesto”). Nei calcoli numerici, lasciare traccia di tutti i passaggi e arrotondare solo all’ultimo.
Strategie utili per problemi complessi: Scomporre in sottoproblemi permette di non perdersi nei dettagli. L’introduzione di una variabile ausiliaria o di un cambio di variabile può snellire notevolmente i calcoli. L’analisi dei casi limiti, come x tendente all’infinito o a zero, riduce il rischio di dimenticare valori speciali. Ad esempio, nello studio di una funzione razionale, valutare il limite per x→∞ spesso rivela subito la natura degli asintoti orizzontali.
Analisi dettagliata della prova per il percorso PNI
Il percorso PNI, introdotto proprio per rinforzare il legame fra matematica e scienze, presenta una seconda prova che favorisce la modellizzazione pratica e la spiegazione del processo risolutivo. La differenza rispetto al tradizionale risiede proprio nel percorso che conduce alla soluzione, più che nella soluzione stessa.Tipologie frequenti nel PNI:
- Problemi con modelli fisici: Il candidato deve formulare equazioni matematiche partendo da una situazione reale—ad esempio, il moto di un oggetto o il decadimento radioattivo. - Domande di interpretazione dati: Di solito si tratta di leggere e interpretare una tabella o un insieme di dati sperimentali; occorre distinguere subito tra variabili dipendenti e indipendenti e porre le domande giuste. - Parte algoritmica: Vengono richiesti passi chiari e motivati, e non raramente la progettazione di un abbozzo di algoritmo o la spiegazione dei ragionamenti seguiti.Metodo consigliato: 1. Leggere attentamente il testo, identificando chiaramente le variabili in gioco. 2. Spiegare esplicitamente eventuali assunzioni, come il trascurare l’attrito in un problema di caduta libera. 3. Scrivere le equazioni vincolanti e il modello matematico, risolverle simbolicamente prima di inserire i dati numerici (come raccomandano anche i manuali di Lolli o Artom). 4. Alla fine, commentare il risultato, valutandone la plausibilità fisica.
Nella parte a quesiti, risposte concise ma motivate: una riga di spiegazione, quando appropriata, segna la differenza tra una risposta generica e una risposta “matematicamente matura”.
Strategie generali di risoluzione
Una solida strategia comincia con una lettura globale del compito. Una metodologia vincente prevede innanzitutto la scansione di tutte le richieste, la valutazione della difficoltà relativa e la scelta dell’ordine di svolgimento. Alcuni candidati preferiscono affrontare per primi i quesiti in cui si sentono più sicuri, altri iniziano dal problema principale: sta all’indole personale decidere, purché si lasci spazio a un controllo finale.Tra le tecniche algebriche utili:
- Studio sistematico del dominio. - Verifica attenta dei segni in equazioni fratte e radicali. - Riconoscimento di simmetrie che possono semplificare lo studio delle funzioni. - Calcolo di derivate successive per identificare con precisione i punti di massimo, minimo o flesso.
Disegni e grafici sono preziosi alleati: un abbozzo anche sommario, con assi ben segnati e i valori critici evidenziati, spesso facilita la comprensione del problema. La calcolatrice va utilizzata solo quando strettamente necessario (calcoli numerici, controllo di un risultato): il rischio di affidarsi completamente all’elettronica è quello di perdere il contatto con il ragionamento matematico sottostante.
Gestione del tempo in sede di esame
La prova di matematica dura in media sei ore, un tempo apparentemente lungo ma che scorre molto in fretta quando si passa dalla teoria alla pratica. Si consiglia di dedicare la prima mezz’ora a una lettura globale e alla scelta dell’ordine; due-tre ore dovrebbero essere riservate ai problemi principali, il resto a quesiti e rilettura.È importante non fossilizzarsi su un punto difficile oltre il ragionevole: un impasse superiore a 20-30 minuti può minare il morale e sottrarre tempo prezioso ad altre sezioni. Quando il tempo scarseggia, meglio esporre almeno l’impostazione del problema o una parte dei calcoli richiesti che lasciare la pagina bianca; la correzione tende a premiare, quando possibile, l’impegno e la capacità di ragionamento anche se la soluzione finale manca.
Forma e stile della risposta
Ogni soluzione deve essere presentata con ordine, suddivisa in passi ben numerati o paragrafi chiari; il risultato finale va sempre evidenziato, incorniciato o sottolineato per essere immediatamente rintracciabile. Citare espressamente teoremi, proprietà o formule usate è segno di rigore metodologico. I grafici, anche quando abbozzati, devono essere accompagnati da etichette chiare e, se richiesto, da una scala significativa.Dal punto di vista pratico, la scrittura deve essere leggibile, ordinata; se si commette un errore, una semplice sbarratura e una riscrittura ordinata sono preferibili a cancellature caotiche. Indicare sempre le unità di misura usate (ove pertinenti) e la precisione numerica è un dettaglio di attenzione che non passa inosservato.
Errori tipici e prevenzione
Molti errori derivano da una lettura frettolosa delle richieste, dalla mancata sottolineatura dei vincoli e dall’errata interpretazione del testo; errori algebrici comuni includono divisioni per zero, semplificazioni illegittime, o l’eliminazione di soluzioni valide nelle manipolazioni. Menzione particolare meritano gli errori di dominio: calcolare valori fuori dal campo di esistenza assegnato rende quantomeno incompleto, se non scorretto, tutto il procedimento.Come prevenirli? Sostituire sempre le soluzioni ottenute nelle equazioni originarie e annotare, fin da subito, il dominio e i valori non ammessi. Prima di consegnare, rileggere le domande e verificare che la risposta sia effettivamente ciò che la traccia chiedeva.
Schemi di svolgimento per tipologie ricorrenti
Ecco alcuni schemi ragionati per gli esercizi più frequenti:- Studio di funzione: dominio→limiti agli estremi→derivate (prime, seconde)→segno della derivata→estremi relativi→concavità e flessi→asintoti→grafico. - Problemi con parametri: isolare il parametro, studiare separatamente i punti in cui il parametro annulla denominatori e discriminanti, risolvere per intervalli distinti. - Ottimizzazione: definizione della funzione obiettivo, esposizione dei vincoli, calcolo delle derivate e verifica della natura degli estremi. - Integrali definiti: interpretazione geometrica, scelta della scomposizione, controllo di segno e unità di misura. - Probabilità: definizione dello spazio degli eventi, calcolo delle probabilità semplici, eventuale applicazione della formula di Bayes o dei principi combinatori.
Esercitazione e preparazione mirata
Per una preparazione efficace, è fondamentale esercitarsi non solo sulle prove ministeriali degli anni precedenti, ma anche sulle correzioni ufficiali, confrontando la propria esposizione e motivazione dei passaggi. Si consiglia di alternare esercitazioni complete con approfondimenti mirati su argomenti ritenuti deboli.Un programma di studio efficace può prevedere tre-quattro ore settimanali per lo svolgimento di prove integrali, due ore dedicate al recupero teorico e simulazioni di gruppo guidate dal docente. Questi ultimi si dimostrano particolarmente utili per prendere confidenza con il linguaggio matematico, con la redazione chiara delle risposte e per rafforzare lo spirito di confronto costruttivo.
Risorse consigliate: raccolte di prove commentate (ad esempio, i manuali delle case editrici specifiche per lo Scientifico), gruppi di studio e forum online dedicati; un uso attento e consapevole di software di calcolo (come GeoGebra) può essere d’aiuto per la visualizzazione, ma mai deve sostituirsi alla capacità manuale di calcolo e ragionamento.
Preparazione psicologica e logistica per l’esame
Vigilia e giornata dell’esame sono momenti critici. Dormire a sufficienza e dedicare la mattina a un ripasso leggero delle formule principali, evitando di colmare improvvisamente lacune, è la strategia vincente. Un’occhiata alle checklist dei materiali (documenti, calcolatrice ammessa, penne, orologio, acqua) evita spiacevoli sorprese di tipo logistico. All’apertura delle tracce, leggere subito in modo globale e individuare i punti più abbordabili; gestire l’ansia con pause brevi e respiri profondi aiuta a mantenere la concentrazione.Conclusione
Affrontare con successo la prova di matematica della maturità al Liceo Scientifico richiede insieme preparazione tecnica, lucidità organizzativa e chiarezza espositiva. Allenarsi su tracce reali, simulando condizioni d’esame e limiti di tempo, correggere con attenzione e apprendere dagli errori sono le chiavi per il successo. Per i docenti, questa metodologia rappresenta una guida efficace per costruire esercitazioni mirate e correzioni formative, orientate allo sviluppo di competenze matematiche solide e trasferibili.---
Check-list rapida
1. Leggere tutta la prova. 2. Sottolineare dati e vincoli. 3. Individuare il dominio. 4. Strutturare la soluzione a punti numerati. 5. Motivare ogni passaggio. 6. Riportare risultati intermedi. 7. Verificare la coerenza delle soluzioni. 8. Rileggere la traccia originale. 9. Evidenziare il risultato finale. 10. Dare uno sguardo finale ai calcoli numerici. 11. Riportare unità di misura e precisione. 12. Consegnare solo dopo aver ricontrollato tutto.Scheda di ricordo: formule frequenti
- Equazione della retta: y = mx + q - Derivata di somma: (f+g)' = f' + g' - Limiti fondamentali: lim(x→0) (sinx / x) = 1 - Combinazioni: C(n, k) = n!/(k!(n–k)!) - Integrale definito come area: ∫ₐᵇ f(x) dxProgramma di studio – 8 settimane
- Settimane 1–2: Ripasso di funzioni, studio del dominio, limiti. - Settimane 3–4: Derivate, ottimizzazione, problemi geometrici. - Settimane 5–6: Integrali, probabilità, sistemi. - Settimane 7–8: Prove complete cronometrate e correzioni guidate.In bocca al lupo!
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