Risolvi la disequazione (x+3)(x-2)(x-5)

Tipologia dell'esercizio: Tema

Aggiunto: oggi alle 12:42

La risoluzione di una disequazione è un passaggio fondamentale nello studio dell'algebra e consente di determinare un insieme di valori che rendono vera l'espressione proposta. La disequazione che ci viene richiesta di risolvere è (x+3)(x-2)(x-5) > . Questo tipo di disequazione richiede la stima del prodotto di tre fattori lineari, ciascuno dei quali può cambiare segno per determinati valori di x. Pertanto, è importante esaminare il comportamento del segno dell'espressione in relazione ai valori di x.

Per prima cosa, identifichiamo i valori di x in cui ciascun fattore è uguale a zero:

1. x + 3 = implica x = -3, 2. x - 2 = implica x = 2, 3. x - 5 = implica x = 5.

Questi valori, -3, 2 e 5, sono chiamati "zeri" della funzione, ovvero i punti in cui l'espressione cambia da positiva a negativa o viceversa. Questi zeri separano la linea reale in intervalli distinti: (-∞, -3), (-3, 2), (2, 5), e (5, ∞).

Per determinare il segno del prodotto (x+3)(x-2)(x-5) in ciascuno di questi intervalli, si esegue una "tabella dei segni". Procediamo testando un numero rappresentativo per ciascun intervallo:

1. Intervallo (-∞, -3): qui possiamo provare x = -4. Sostituendo, otteniamo (-4+3)(-4-2)(-4-5) = (-1)(-6)(-9). Il prodotto di tre numeri negativi è negativo. Quindi l'espressione è negativa in questo intervallo.

2. Intervallo (-3, 2): possiamo provare x = . Sostituendo, otteniamo (+3)(-2)(-5) = (3)(-2)(-5). Qui, il prodotto di un numero positivo e due numeri negativi è positivo (in quanto il prodotto di due numeri negativi è positivo e questo risultato positivo moltiplicato per un numero positivo resta positivo). Quindi l'espressione è positiva in questo intervallo.

3. Intervallo (2, 5): qui possiamo provare x = 3. Sostituendo, otteniamo (3+3)(3-2)(3-5) = (6)(1)(-2). Qui, il prodotto di due numeri positivi e uno negativo è negativo. Quindi l'espressione è negativa in questo intervallo.

4. Intervallo (5, ∞): qui possiamo provare x = 6. Sostituendo, otteniamo (6+3)(6-2)(6-5) = (9)(4)(1). Poiché tutti e tre i fattori sono positivi, l'espressione è positiva in questo intervallo.

Ora, possiamo concludere che l'espressione (x+3)(x-2)(x-5) > è positiva negli intervalli (-3, 2) e (5, ∞). Tuttavia, è importante determinare se includere o escludere gli zeri stessi dal set di soluzioni. Poiché la disequazione richiede maggiore di, non uguale a, zero, escluderemo i valori di x = -3, x = 2 e x = 5 dal nostro insieme di soluzioni, poiché in questi punti specifici il prodotto è uguale a zero e non soddisfa l'ineguaglianza stretta.

Pertanto, la soluzione della disequazione è:

x ∈ (-3, 2) ∪ (5, ∞).

In pratica, abbiamo applicato il metodo dell'analisi dei segni, un approccio particolarmente utile per le disequazioni polinomiali di grado superiore al primo dove il comportamento del segno può cambiare più volte al variare di x. Questo metodo ci consente di visualizzare i cambiamenti nel segno dell'espressione senza dover calcolare effettivamente i valori numerici esatti del polinomio per ogni possibile x. Il grafico di una funzione polinomiale di terzo grado, inoltre, mostra tipicamente almeno un punto in cui attraversa l'asse x, alternando tra sezioni positive e negative, confermando la necessità di questo tipo di analisi quando si risolvono disequazioni di grado superiore.