Intersezione tra due parabole: metodi algebrici e grafici
Questo lavoro è stato verificato dal nostro insegnante: 16.01.2026 alle 10:29
Tipologia dell'esercizio: Tema
Aggiunto: 16.01.2026 alle 9:47
Riepilogo:
Uguagliare le due y, risolvere (a-a')x^2+(b-b')x+(c-c')=0; D>0→2 intersezioni, D=0→tangente, D<0→nessuna. Verificare e disegnare (GeoGebra).
Introduzione
Il problema di determinare i punti d’intersezione tra due parabole nel piano cartesiano è un classico della matematica scolastica, di grande utilità sia in ambito geometrico che applicativo. Nella scuola italiana, affrontare questa questione significa non solo applicare strumenti algebrici e geometrici, ma anche collegare questi aspetti a una solida capacità di visualizzazione e ragionamento sulle funzioni. Le intersezioni tra parabole ricorrono in modelli fisici, in problemi di ottica (ad esempio nei riflettori parabolici), nelle traiettorie di corpi e persino nella teoria delle coniche studiata in geometria analitica. Questo saggio approfondirà vari metodi per risolvere il problema, evidenziando sia il percorso algebrico standard che le casistiche particolari, senza tralasciare le tecniche grafiche e numeriche di supporto, cruciali oggi anche nella didattica grazie all’uso di software come GeoGebra, ampiamente adottato nelle scuole superiori italiane.Definizione del modello e notazione
Poniamo di lavorare con due parabole P e Q, entrambe riferite a un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxy, con equazioni nella forma tipica delle parabole ad asse verticale: - P: *y = a x² + b x + c* - Q: *y = a' x² + b' x + c'*Dove i parametri *a, b, c, a', b', c'* sono numeri reali. Supporremo che le parabole non siano ruotate; per parabole inclinate, il metodo qui illustrato richiede importanti adattamenti e l’uso di strumenti avanzati come la resultante.
Il nostro obiettivo è trovare tutte le coppie di numeri reali \((x, y)\) che soddisfano entrambe le equazioni; in altre parole, i punti (eventualmente zero, uno, due, od infiniti) dove le due curve si incontrano.
Metodo algebrico standard
Passo 1: uguagliare le espressioni per y
Per individuare i punti comuni alle due parabole, si uguagliano i valori di *y*: \[ a x^2 + b x + c = a' x^2 + b' x + c' \]Passo 2: portare tutto a primo membro
Sottraiamo entrambi i membri: \[ (a - a') x^2 + (b - b') x + (c - c') = 0 \] Questa è una classica equazione polinomiale in *x*, di secondo grado se *a ≠ a’*, oppure lineare o degenerata se *a = a’*.Passo 3: casi a seconda del grado
- Se \(a ≠ a’\) → equazione quadratica in *x*. - Se \(a = a’\) → equazione di primo grado o nessuna, da trattare separatamente (vd. oltre).Passo 4: risoluzione dell’equazione quadratica
Se la quadratica è non banale: \[ A x^2 + B x + C = 0 \] con \(A = a - a’\), \(B = b - b’\), \(C = c - c’\).Si calcola il discriminante: \[ D = B^2 - 4 A C \] - D > 0: due soluzioni reali distinte. - D = 0: una soluzione reale doppia (tangente). - D < 0: nessuna soluzione reale.
Si applica la formula risolutiva: \[ x = \frac{-(b-b') \pm \sqrt{D}}{2(a-a')} \]
Passo 5: calcolo delle ordinate
Per ogni \(x\) trovato, si calcola \(y\) sostituendo in una delle due equazioni originali: di solito quella con numeri più semplici o stabili dal punto di vista numerico, per limitare gli errori di calcolo.Infine, è buona pratica verificare ogni soluzione rimpiazzandola nell’altra equazione: è una prassi consigliata soprattutto nei compiti d’esame.
Suggerimenti pratici
- Semplificare i coefficienti prima di risolvere. - Preferire l’equazione con valori numerici più piccoli o coefficienti interi. - Verificare sempre *a-a’ ≠ 0* per evitare divisioni per zero.Interpretazione geometrica del discriminante
Il valore del discriminante *D* porta con sé un significato geometrico espresso chiaramente dalla tradizione matematica italiana, ad esempio nei commentari di Peano e nelle raccolte di esercizi dei manuali Zanichelli:- D > 0: due punti d’intersezione reali e distinti; le parabole “si tagliano”. - D = 0: le parabole si “toccano” in un solo punto, ossia sono tangenti fra loro in quel punto specifico, e nel linguaggio formale la radice è doppia. - D < 0: nessuna soluzione reale; le parabole sono “separate” e non hanno nessun punto in comune nel piano vero, anche se avrebbero intersezioni in campo complesso.
Un aspetto raffinato: quando *D = 0*, oltre all’uguaglianza delle ordinate, anche le pendenze (derivate prime) delle due curve coincidono nel punto di tangenza: \[ y'_P(x_0) = 2a x_0 + b \] \[ y'_Q(x_0) = 2a' x_0 + b' \] e devono risultare uguali per una tangenza vera.
Casi particolari
Stesso coefficiente quadratico (\(a = a’\))
- Se \(b ≠ b’\): l’equazione resta lineare, \((b - b’)x + (c - c’) = 0\) Esiste al massimo una soluzione (eventualmente nessuna). - Se \(b = b’\) - Se \(c = c’\): le parabole coincidono (infinite punti in comune). - Se \(c ≠ c’\): sono curve parallele tra loro, traslate in verticale; nessun punto d’incontro.Radici con molteplicità
Quando la quadratica si fattorizza facilmente, le radici vanno interpretate anche in chiave grafica: si può avere un’unica abscissa per più punti, rappresentando una “retta verticale” che attraversa le due curve nello stesso punto.Verifica della tangente comune
Oltre al controllo del discriminante, per confermare che due parabole siano tangenti si può verificare se esiste un *x* tale che: \[ y_P(x) = y_Q(x) \quad \text{e} \quad y'_P(x) = y'_Q(x) \] Risolvendo il sistema, se i due valori sono coincidenti c’è tangenza. È un controllo che si può svolgere facilmente anche durante una prova orale o scritta, soprattutto nei Licei Scientifici dove la derivata è tema ricorrente.Esempio numerico: \[ P: y = x^2 + 2x + 1 , \quad Q: y = x^2 + 4x + 5 \] \[ y'_P = 2x + 2, \; y'_Q = 2x + 4 \] Ponendo *y'_P = y'_Q*, otteniamo *2 = 4* per qualunque *x*, quindi mai coincidenti: le parabole non sono mai tangenti.
Controllo grafico e rappresentazione
Disegno a mano
Per rappresentare le parabole: - Individuare i vertici: per *y = ax^2 + bx + c*, il vertice ha ascissa \(x_v = -b/2a\). - Trovare le intersezioni con l’asse y (\(x=0\)) e con l’asse x (risolvere \(ax^2 + bx + c = 0\)). - Costruire una tabella di valori centrata sulle soluzioni per ottenere con accuratezza la forma nei pressi dell’intersezione.Uso di strumenti digitali
GeoGebra è particolarmente diffuso tra gli studenti italiani: è gratuito, in italiano, e permette di graficare rapidamente le curve e calcolare i punti di intersezione. Allo stesso modo, Desmos o semplici script Python con matplotlib sono utili per esperimenti “sul campo”. Consiglio di restringere il dominio visibile e zoomare attorno ai valori di *x* trovati per vedere chiaramente la situazione locale.Per casi delicati (tangente con soluzioni molto vicine), conviene aumentare le cifre decimali nel software o appoggiare il ragionamento a calcoli con la derivata.
Metodi alternativi ed estensioni
- Eliminazione tramite resultante: viene introdotta nei corsi più avanzati presso i Licei Scientifici e negli Istituti Tecnici superiori. È preziosa quando le equazioni non sono scritte esplicitamente in forma y=... - Cambio di variabile (asse orizzontale): se si lavora con parabole in forma \(x = f(y)\), si può ribaltare il ragionamento con y come incognita. - Parabole ruotate o con generiche coniche: qui intervengono strumenti come la resultante di Sylvester e il teorema di Bézout, che stabilisce che due coniche possono incontrarsi al massimo in 4 punti reali o complessi. - Soluzioni numeriche: per polinomi di grado elevato o coefficienti non semplici, si possono usare metodi come Newton-Raphson oppure funzioni di ricerca radici disponibili in programmi di calcolo quali SciPy o SymPy.Errori comuni da evitare
- Invertire le coordinate inserendo (y, x) invece di (x, y). - Non calcolare l’ordinata y dopo aver trovato x. - Sbagliare i segni nel discriminante o nelle radici. - Dividere per (a - a') senza aver verificato che sia non nullo. - Confondere la presenza di una radice doppia con una doppia intersezione reale, che invece rappresenta un unico punto di tangenza. - Non usare il controllo di verifica nelle due equazioni. - Dimenticare il confronto delle derivate in caso di D = 0 per verificare la reale tangenza.Un approccio metodico e la cura nella scrittura di tutti i passaggi aiutano a evitare questi errori nei compiti, soprattutto sotto pressione.
Esempi risolti
Esempio 1 (D > 0): \[ P: y = x^2 \qquad Q: y = -x^2 + 2 \] Impostiamo: \[ x^2 = -x^2 + 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] Restituisce due punti: - x = 1: y = 1 - x = -1: y = 1Quindi, i punti di intersezione sono (1, 1) e (−1, 1).
Esempio 2 (D = 0, parabole tangenti): \[ P: y = x^2 \qquad Q: y = x^2 + 2x + 1 \] \[ x^2 = x^2 + 2x + 1 \implies 2x + 1 = 0 \implies x = -\frac{1}{2} \] Un solo punto: x = −0,5, y = 0,25 (su entrambe).
Esempio 3 (D < 0): \[ P: y = x^2 + 1 \qquad Q: y = -x^2 \] \[ x^2 + 1 = -x^2 \implies 2x^2 = -1 \implies x^2 = -0,5 \] Nessuna soluzione reale: curve separate nel piano.
Esempio 4 (a = a’, b = b’, c ≠ c’): \[ P: y = x^2 + 1 \qquad Q: y = x^2 + 2 \] \[ x^2 + 1 = x^2 + 2 \implies 1 = 2 \] Nessuna soluzione: le due parabole sono congruenti ma traslate verticalmente.
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