Quante persone sono se, abbracciandosi tutti singolarmente, si scambiano in totale 190 abbracci?

Tipologia dell'esercizio: Analisi

Aggiunto: oggi alle 14:41

Per risolvere il problema proposto occorre fare uso di un po' di matematica combinatoria, più precisamente del calcolo del numero di combinazioni semplici. Il problema chiede di determinare il numero di persone (x) in un gruppo ristretto in cui ogni persona abbraccia individualmente tutte le altre, ed il numero totale di abbracci scambiati è pari a 190.

Per affrontare questa situazione, dobbiamo considerare che un abbraccio tra due persone è un evento bilaterale e univoco, nel senso che se la persona A abbraccia la persona B, ciò è equivalente a dire che la persona B abbraccia la persona A. Quindi, il numero totale di abbracci è dato dal numero di modi unici in cui si possono formare coppie di persone. La formula per calcolare il numero di combinazioni di x elementi presi a due a due è la seguente:

\[ C(x, 2) = \frac{x(x - 1)}{2} \]

Questa formula ci permette di calcolare quante coppie distinte possiamo formare da un insieme di x persone. Nel nostro caso, sappiamo che il totale di abbracci è 190, quindi possiamo impostare l'equazione:

\[ \frac{x(x - 1)}{2} = 190 \]

Questa è un'equazione quadratica che possiamo risolvere per x. Prima, moltiplichiamo entrambi i lati per 2 per eliminare la frazione:

\[ x(x - 1) = 380 \]

Espandendo l'equazione otteniamo:

\[ x^2 - x - 380 = \]

Questa è un'equazione quadratica standard nella forma \( ax^2 + bx + c = \), dove \( a = 1 \), \( b = -1 \), e \( c = -380 \). Possiamo risolvere questa equazione usando la formula quadratica:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

Sostituendo i valori di \( a \), \( b \), e \( c \), otteniamo:

\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-380)}}{2(1)} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 152}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1521}}{2} \]

Osservando il termine sotto la radice quadrata, \(\sqrt{1521} = 39\), la nostra equazione diventa:

\[ x = \frac{1 \pm 39}{2} \]

Quindi ci sono due possibili soluzioni per x:

\[ x = \frac{1 + 39}{2} = \frac{40}{2} = 20 \] \[ x = \frac{1 - 39}{2} = \frac{-38}{2} = -19 \]

Poiché x rappresenta il numero di persone, deve essere un numero positivo. Pertanto, scartiamo la soluzione negativa, lasciando x = 20.

Di conseguenza, il numero di persone in questo gruppo, in cui ogni persona abbraccia singolarmente tutte le altre e il numero totale di abbracci è 190, è 20.

Questa soluzione, oltre a fornire un risultato corretto, può dare un'opportunità per riflettere su alcune applicazioni pratiche della matematica combinatoria. Gli studenti delle scuole superiori possono sperimentare come strumenti matematici, sviluppati secoli fa, abbiano un'ampia applicazione in molteplici ambiti, dalla modellazione di interazioni sociali, ai calcoli statistici e alla risoluzione di problemi legati a grafi e reti.

Il ragionamento matematico dietro questo problema deriva dal principio fondamentale della combinatoria e illustra come le stesse tecniche possano essere applicate per analizzare situazioni più complesse. È un esempio eloquente di come la matematica non sia solo un insieme di operazioni numeriche, ma un linguaggio potente che descrive le relazioni e le interazioni tra entità multiple, siano esse persone in una stanza, atomi in una molecola, o nodi in una rete sociale.